一、什么是微分方程
微分方程：含有自变量、未知函数和未知函数导数的方程。
F(x,φ′(x),φ″(x),⋅⋅⋅φn(x))=0F\left( x,\varphi^{}(x),\varphi^{}(x),\cdot\cdot\cdot\varphi^{n}(x) \right)=0
二、微分方程中的基本概念
1、根据自变量的个数分为:
一个自变量：常微分方程ODE(Ordinary Differential Equation)
多个自变量：偏微分方程PDE（Partial Differential Equation）
2、根据方程中函数的的阶数分为：
一阶微分方程: F(x,φ′(x))=0F\left( x,\varphi^{}(x)\right)=0
高阶微分方程: F(x,φ′(x),φ″(x),⋅⋅⋅φn(x))=0F\left( x,\varphi^{}(x),\varphi^{}(x),\cdot\cdot\cdot\varphi^{n}(x) \right)=0
3、根据方程中函数及其各阶导数的独立性性分为：
线性微分方程： a0(x)yn+a1(x)yn−1+a2(x)yn−2+⋅⋅⋅an(x)y=f(x)a_{0}(x)y^{n}+a_{1}(x)y^{n-1}+a_{2}(x)y^{n-2}+\cdot\cdot\cdot a_{n}(x)y=f(x)
非线性微分方程: a0(x)yn+a1(x)yn−1+a2(x)(yn−2)2+⋅⋅⋅an(x)y=f(x)a_{0}(x)y^{n}+a_{1}(x)y^{n-1}+a_{2}(x)(y^{n-2})^2+\cdot\cdot\cdot a_{n}(x)y=f(x)
4、根据方程中函数及其各阶导数系数是否为常数分为：
常系数微分方程： a0yn+a1yn−1+a2yn−2+⋅⋅⋅any=f(x)a_{0}y^{n}+a_{1}y^{n-1}+a_{2}y^{n-2}+\cdot\cdot\cdot a_{n}y=f(x)
变系数微分方程： a0(x)yn+a1(x)yn−1+a2(x)yn−2+⋅⋅⋅an(x)y=f(x)a_{0}(x)y^{n}+a_{1}(x)y^{n-1}+a_{2}(x)y^{n-2}+\cdot\cdot\cdot a_{n}(x)y=f(x)
5、根据右端自变量的函数是否为0分为：
齐次微分方程： a0yn+a1yn−1+a2yn−2+⋅⋅⋅any=0a_{0}y^{n}+a_{1}y^{n-1}+a_{2}y^{n-2}+\cdot\cdot\cdot a_{n}y=0
非齐次微分方程：
6、微分方程的解分为
通解、特解（满足初始条件）
